2013 年安徽预赛 · 第 5 题

解答

取 $BC$ 的中点 $M$，则 $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$，从而

因此 $A,P,M$ 依次共线，且 $AP:PM=4:1$。 外心 $P$ 到 $B,C$ 等距，故 $PM\perp BC$，也就有 $AM\perp BC$，于是 $AB=AC$。 设 $AM=t>0$。由 $PB=PA=4t/5$，$PM=t/5$ 及勾股定理，

余弦定理给出

取任意 $t>0$，令 $BM=CM=\sqrt{3/5}t$，$AM=t$ 且 $AM\perp BC$， 并在 $AM$ 上取 $AP=4t/5$，则 $PA=PB=PC$，说明该构型确实存在。