2024 年新疆预赛

解答

令 $u=x-6$，则 $u\in [-14,14]$，方程等价于

左端是偶函数，故非零根成 $\pm u$ 配对。

在 $0<u\le 14$ 内，左端为正的区间是

对前两个完整正半波，函数从 $0$ 上升到大于 $1$ 的唯一极大值，再下降到 $0$，故各有两个根。对最后一段，函数在 $(12,13.5]$ 单调上升并越过 $1$；在 $[13.5,14]$ 上又始终不小于 $27\sqrt{3}/2>1$，故只有一个根。因此正根共有 $5$ 个，全部根共有 $5$ 对。

每一对 $u,-u$ 对应的两个 $x$ 为 $6+u,6-u$，和为 $12$。故所有根之和为