2023 年上海高中数学竞赛（高三卷）

F5解答题数论

求最小的整数 $t > 3$ ，使得存在两个正整数 $m, n$ ，满足： $m, n$ 都恰有 $t$ 个正约数；若将 $m$ 的正约数从小到大排列为

c_{1}, c_{2}, \dots, c_{t} (c_{1} = 1, c_{t} = m),

将 $n$ 的正约数从小到大排列为

d_{1}, d_{2}, \dots, d_{t} (d_{1} = 1, d_{t} = n),

则存在一个整数 $2 \leq r \leq t - 2$ ，使得

(- 1)^{i} (c_{i} - d_{i}) {> 0, < 0, i = 2, \dots, r, i = r + 1, \dots, t .

作答

这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。

为什么评为 F5（会透露解法方向）

排除偶数t需要联用首尾符号和互补约数乘积，排除素数t后仍需发现两组平方半素数的细致交错约数构造，使唯一变号位置符合全部排序限制。

用到的方法（会透露解法方向）