2022 年福建预赛

解答

由 $c/a=\sqrt{5}/2$ 得

设直线 $l$ 为 $y=m(x-c)$，并令 $x=c+t$。代入双曲线得

竖直线 $x=c$ 的两个交点关于 $x$ 轴对称，到 $F_2$ 的距离相等，不满足给定的 $3:1$，故有限斜率的设法已覆盖全部可能配置。

先说明 $F_2$ 在线段 $AB$ 内。记 $h=1-4m^2$，两交点要求 $h\ne 0$。若方程（1）的两根同号，由给定长度比可写为 $3s,s$，其中 $s\ne 0$。韦达关系给出

消去 $s$ 得 $h=3c^2/a^2=15/4$，但 $h=1-4m^2\le 1$，矛盾。因此两根异号，$F_2$ 确在线段 $AB$ 内。由根积为负知 $h<0$，再结合根和为正及给定长度比，可设两根为 $3s,-s$，其中 $s>0$。由根的和与积，

消去 $s$ 并用 $c^2=5a^2/4$，得到 $4m^2-1=15$。因 $A$ 在第一象限，可取 $m=2$，且 $s=c/15$。

所以

$F_1$ 到直线 $y=2(x-c)$ 的距离为 $4c/\sqrt{5}=2a$，于是

故 $a=4$。

此时 $A{F}_2=2,F_{2}B=2/3$。两点都在双曲线右支，由焦半径关系

得 $A{F}_1=10,B{F}_1=26/3$。三角形的半周长为

故内切圆半径为