2026 年广西预赛

解答

记两圆圆心为 $O_1=(4,1)$、$O_2=(0,2)$。令 $P=(t,t+1)$，并记

固定 $P$ 时，可分别选择 $M,N$，故

注意到

其中 $d_2\ge |1-t|\ge 1-t$，所以恒有 $d_1-d_2\le 3$。 当 $d_2\ge 1$ 时，

当 $d_2\le 1$ 时，由 $d_2^2=2t(t-1)+1$ 得 $0\le t\le 1$；此时 $d_1\le d_1{|}_{t=0}=4$，故

取 $P=(0,1)$，则 $P$ 在圆 $C_2$ 上，可取 $N=P$；又 $P{O}_1=4$，在圆 $C_1$ 上取离 $P$ 最远的点可使 $PM=4+2=6$。因此最大值为