培玉 · 一试

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直线与圆

从这里开始

目标训练建设中。知识要点、方法卡和分级真题已可使用；先从一道真题开始，卡住时逐级看提示，核对后再换题验证。

从 F1 第一题开始随机来一道 F2

本专题核心公式速查

互动实验：共轴圆系、根轴与根心 · 极点、极线与调和点列

直线与圆的综合题，常要在方程、距离和角度之间选择最省变量的表达。先把圆心、半径、交点是否不同和动点范围写清，再用对称、根的和积、点积或圆族消去多余坐标。最值不仅要估计，还要找出满足原构型的等号点；切线极限也不一定属于割线题的可取范围。

先修（培玉高中数学）：直线的倾斜角与斜率直线的方程直线的交点坐标与距离公式圆的方程直线与圆、圆与圆的位置关系平面向量基本定理及坐标表示

知识要点

配方与直径先固定圆心半径

圆 $x^{2} + y^{2} + D x + E y + F = 0$ 的圆心为 $(- D /2, - E /2)$ ，半径平方为 $(D^{2} + E^{2}) /4 - F$ ，须为正才是通常的圆。例： $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 12 = 0$ 的圆心为 $(2, - 3)$ 、半径为 $5$ 。直径端点已知时取其中点与半端点距；也可直接用 $(X - A) \cdot (X - B) = 0$ 写圆。

点到圆先分清最近与最远

半径为 $r > 0$ 的圆与点 $P$ 的圆心距为 $d$ 时，最近距离是 $∣ d - r ∣$ ，最远距离是 $d + r$ 。例：半径 $2$ 、圆心原点， $P = (3, 0)$ 时两值为 $1, 5$ ； $P = (1, 0)$ 时为 $1, 3$ 。若两个圆上的动点可分别选择，应先固定 $P$ 各自取极值，再处理 $P$ 的限制，并检查能否同时取等。

交点用根的和积，割线用严格判别式

把直线写成 $X = X_{0} + t v$ 后代入圆，可将两交点变成同一个二次方程的根；目标只含坐标和或乘积时无需分别求根。例：从 $(2, 0)$ 沿 $(- 1, k)$ 交单位圆，参数方程为 $(1 + k^{2}) t^{2} - 4 t + 3 = 0$ ，两根不同要求 $∣ k ∣ < 1/ 3$ 。切线对应等号，应与真割线的开区间区别。

点幂依赖同一直线及有向次序

若方向向量为单位向量，圆心为 $O$ 、半径为 $r$ ，过 $P$ 的交点参数满足 $t_{1} t_{2} = P O^{2} - r^{2}$ 。例：单位圆外 $P = (2, 0)$ 向左割线的参数为 $1, 3$ ，乘积为 $3$ ；过圆心的两根为 $- 1, 1$ ，有向乘积为 $- 1$ 。改用无向长度时要辨圆内外；三点不共线的距离积不能直接视作点幂。

切点弦与圆族定点都可比较系数

圆 $(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$ 的外点 $(u, v)$ 所引切点弦满足 $(u - h) (x - h) + (v - k) (y - k) = r^{2}$ ，须先保证确有两条切线。例：圆 $x^{2} + (y - 1)^{2} = 4$ ，外点 $(u, - 3)$ 的切点弦为 $ux - 4 y = 0$ ，恒过原点。含参数的圆或直线族若写成 $F (X) + tG (X) = 0$ ，定点应同时满足 $F = G = 0$ 。

对称要保持距离，降维要证明取等

定点关于限制直线反射后，折线路径可用三角不等式变成直线距离。例： $A = (1, 2), B = (3, 4)$ ， $P$ 在 $x$ 轴上，将 $A$ 反射到 $(1, - 2)$ ，得 $P A + PB \geq 210$ ，在 $P = (5/3, 0)$ 取等。对称的距离和也是凸函数：一点与其镜像取中点可不增目标，才可把最值限制到对称轴上。

角度先辨点积符号，再用正切或余弦

两条非零向量的点积符号决定锐角、直角、钝角；正切可由叉积绝对值除以点积得到，但跨过直角时不能直接比较正切。例：从 $(0, 3)$ 看 $(- 1, 0), (1, 0)$ ，点积为 $2$ 、长度积为 $4$ ，夹角为 $6 0^{\circ}$ 。角度方程平方后须恢复点积符号；非等比伸缩也不保持欧氏角度。

相切、正交与直线相切是不同条件

两个不重合的圆相切用圆心距等于半径和或半径差绝对值；内切还要求半径不同且圆心距为正；相交处切线垂直则用 $d^{2} = r_{1}^{2} + r_{2}^{2}$ 。例：半径 $1, 2$ 的两圆外切距离为 $3$ 、内切距离为 $1$ ，正交距离则为 $5$ ，确落在两圆相交范围内。圆与直线相切用圆心到直线的距离等于半径；三条边所在直线的公共切圆还包括旁切圆。

方法卡

圆心半径与径向距离

圆上点到定点的距离最值，先算定点到圆心的距离。

完整讲解 · 例题 · 可练 8 题

一、是什么

先认识这些量

圆心为 $O$ 、半径为 $r$ ，定点为 $P$ ，记 $d = OP$ 。圆上点 $X$ 满足 $OX = r$ 。

为什么这样做

三角不等式与反三角不等式给 $∣ d - r ∣ \leq PX \leq d + r$ 。当 $P \neq = O$ ，圆心与定点连线上的两个径向点取到两界。

先看一道例题

例 1：圆外定点

圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上的点到 $P = (5, 0)$ 的最近和最远距离？

怎么看出来：

圆心距五、半径二。

解：

最近为 $5 - 2 = 3$ ，在 $(2, 0)$ ；最远为 $5 + 2 = 7$ ，在 $(- 2, 0)$ 。

答案：

$3$ 与 $7$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
已知直径求圆系数，或目标可化成定点到圆上点的最近、最远距离。	圆上点到定点的距离最值，先算定点到圆心的距离。
圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上的点到 $P = (5, 0)$ 的最近和最远距离？	圆心距五、半径二。

三、怎么用

把圆方程配成标准式。
求圆心距。
用半径与圆心距求两界。
检查径向点是否还满足其他限制。

四、再做一道

例 2：圆内定点

圆 $(x - 1)^{2} + y^{2} = 9$ 上的点到原点的最近和最远距离？

怎么看出来：

圆心距小于半径，要取差的绝对值。

解：

圆心距为 $1$ ，半径 $3$ ，最近 $∣1 - 3∣ = 2$ ，在 $(- 2, 0)$ ；最远 $4$ ，在 $(4, 0)$ 。

答案：

$2$ 与 $4$ 。

五、容易错在哪

圆内点的最近距离是半径减圆心距，不能写成负数。

真题

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圆与切点弦的参数系数消元

把圆族方程写成常数部分加参数部分，公共点同时使两部分为零。

完整讲解 · 例题 · 可练 3 题

一、是什么

先认识这些量

圆族是随参数变化的一组圆。一般圆 $x^{2} + y^{2} + D x + E y + F = 0$ 有实圆的条件为半径平方 $(D^{2} + E^{2}) /4 - F > 0$ 。

为什么这样做

一个点若对每个参数都满足一次参数式，参数系数与常数项必须分别为零。两圆方程相减则消掉二次项得到公共弦直线。

先看一道例题

例 1：公共点

圆族 $x^{2} + y^{2} + λ x - 1 = 0$ ，求所有公共点。

怎么看出来：

点坐标不能随参数变化。

解：

参数系数给 $x = 0$ ，常数部分给 $y^{2} = 1$ ，所以为 $(0, 1), (0, - 1)$ 。半径平方 $1 + λ^{2} /4 > 0$ 。

答案：

$(0, \pm 1)$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
动圆恒过定点，或外点沿直线运动而切点弦需要找定点。	把圆族方程写成常数部分加参数部分，公共点同时使两部分为零。
圆族 $x^{2} + y^{2} + λ x - 1 = 0$ ，求所有公共点。	点坐标不能随参数变化。

三、怎么用

整理为参数一次式。
将参数系数与常数项同时置零。
解公共点并检验每个圆非退化。
若只求公共弦，可用两圆相减。

四、再做一道

例 2：公共弦

圆 $x^{2} + y^{2} = 5$ 与 $x^{2} + y^{2} - 2 x = 1$ 的公共弦所在直线？

怎么看出来：

相减消二次项。

解：

两式相减得 $2 x = 4$ ，所以 $x = 2$ 。代回得 $y = \pm 1$ ，确有两个交点。

答案：

$x = 2$ 。

五、容易错在哪

方程相减得到的是公共点所在直线，仍需验证两圆确实有两个交点。

真题

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反射、中心对称与对称降维

反射保距离，可将受直线约束的折线长度转成两定点间距离。

完整讲解 · 例题 · 可练 10 题

一、是什么

先认识这些量

关于 $x$ 轴反射把 $(u, v)$ 变成 $(u, - v)$ 。轴上点到一对镜像点距离相等。等距变换保持长度。

为什么这样做

将一端反射后，折线和至少为反射点到另一端的直线距离。等号要求轴上的折点确实落在连接线段上。

先看一道例题

例 1：同侧两点

$A = (0, 1), B = (4, 1)$ ， $X$ 在 $x$ 轴上，求 $A X + XB$ 最小值。

怎么看出来：

反射其中一个定点。

解：

$A' = (0, - 1)$ ， $A' B$ 与轴交于 $(2, 0)$ 。最小为 $A' B = 20 = 25$ 。

答案：

$25$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
动点限制在直线上求距离和，反射像落在指定圆上，截线中点已知，或绝对值曲线按象限对称。	反射保距离，可将受直线约束的折线长度转成两定点间距离。
$A = (0, 1), B = (4, 1)$ ， $X$ 在 $x$ 轴上，求 $A X + XB$ 最小值。	反射其中一个定点。

三、怎么用

选择反射轴与被反射点；中心对称时，中心 $C$ 是原像 $P$ 与像点 $P'$ 的中点，即 $P' = 2 C - P$ 。
用等距性替换一段距离。
对新折线用三角不等式。
求真实交点，核线段次序和其他限制。

四、再做一道

例 2：中心对称

$P = (3, - 2)$ 关于 $C = (1, 1)$ 的对称点是什么？

怎么看出来：

中心 $C$ 是原像 $P = (3, - 2)$ 与像点 $P'$ 的中点。

解：

$P' = 2 C - P = (- 1, 4)$ ，两点到中心距离同为 $13$ 。

答案：

$(- 1, 4)$ 。

五、容易错在哪

如果折点只允许在线段上，反射后的交点必须在线段内。

真题

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割线参数、根的和积与点幂

圆与直线联立时，用交点参数的根和根积求所需长度。

完整讲解 · 例题 · 可练 4 题

一、是什么

先认识这些量

直线写成 $X = P + t d$ 。若方向是单位向量，参数差的绝对值就是距离；否则还要乘 $∣ d ∣$ 。

为什么这样做

代入圆方程得到二次式，韦达定理直接给根和积。参数有正负，长度必须按点序取绝对值。

先看一道例题

例 1：水平弦

直线 $y = 1$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 5$ 交于两点，求弦长及两横坐标之积。

怎么看出来：

横坐标就是单位水平方向参数。

解：

$x^{2} - 4 = 0$ ，两根 $- 2, 2$ ，乘积 $- 4$ ，弦长 $4$ 。

答案：

弦长 $4$ ，积 $- 4$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
同一直线上的两交点只以向量和、距离积、定比关系出现，或圆外两条垂直割线需要消去近远端点。	圆与直线联立时，用交点参数的根和根积求所需长度。
直线 $y = 1$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 5$ 交于两点，求弦长及两横坐标之积。	横坐标就是单位水平方向参数。

三、怎么用

选择非零方向参数化直线。
代入圆方程核判别式。
用根和积计算目标。
恢复实际长度，检查点序和单位方向。

四、再做一道

例 2：外点割线

$P = (3, 0)$ 沿方向 $(- 1, 0)$ 截圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ ，求两交点到 $P$ 距离的乘积。

怎么看出来：

单位参数根都为正。

解：

$(3 - t)^{2} = 1$ 得 $t^{2} - 6 t + 8 = 0$ ，根为 $2, 4$ ，乘积 $8$ ，与点幂 $9 - 1$ 一致。

答案：

$8$ 。

五、容易错在哪

非单位方向的参数不是距离，不能直接把根差当弦长。

真题

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动点看线段的张角：用点积判锐钝，用叉积求最大

$P A \cdot PB$ 的正负告诉你 $∠ A PB$ 是锐角、直角还是钝角。要比较两个锐角的大小，光看点积不够，还要用正切。

完整讲解 · 例题 · 可练 2 题

一、是什么

向量和点积

从 $P (x, y)$ 到 $A (x_{A}, y_{A})$ 的向量是 $P A = (x_{A} - x, y_{A} - y)$ ，也就是终点减起点。向量 $(a, b)$ 和 $(c, d)$ 的点积定义为 $a c + b d$ ，结果是一个数。例如 $(1, 2)$ 和 $(3, - 1)$ 的点积是 $3 - 2 = 1$ 。

点积的正负判断角

设 $u, v$ 是非零向量，夹角是 $θ$ （ $0^{\circ} \leq θ \leq 18 0^{\circ}$ ）。用坐标展开可得 $∣ u - v ∣^{2} = ∣ u ∣^{2} + ∣ v ∣^{2} - 2 u \cdot v$ ，而 $∣ u - v ∣$ 正是以 $u, v$ 为两边的三角形的第三边。点积为 $0$ 时恰好是勾股定理， $θ = 9 0^{\circ}$ 。两边长度不变时，夹角越大第三边越长，所以点积大于 $0$ 时 $θ < 9 0^{\circ}$ ，点积小于 $0$ 时 $θ > 9 0^{\circ}$ 。 $P$ 与 $A$ 或 $B$ 重合时向量是零向量，角没有意义，要排除。

和中点的关系

设 $M$ 是 $A B$ 的中点，则 $P A \cdot PB = ∣ PM ∣^{2} - \frac{∣ A B ∣ ^{2}}{4}$ 。例如 $A (- 1, 0), B (3, 0)$ ， $M (1, 0)$ ，直接算得点积 $= (x - 1)^{2} + y^{2} - 4$ ，正好是这个式子。所以 $P$ 在以 $A B$ 为直径的圆内时是钝角（在线段 $A B$ 上时是 $18 0^{\circ}$ ），在圆上（不含 $A, B$ ）时是直角，在圆外时是锐角（在直线 $A B$ 上、线段外时是 $0^{\circ}$ ）。

圆上的点：二次项可以消掉

点积展开后总含 $x^{2} + y^{2}$ 。若 $P$ 在圆上，圆方程能把 $x^{2} + y^{2}$ 换成一次式。例如 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上， $A (1, 0), B (3, 0)$ 的点积 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 3$ 变成 $7 - 4 x$ ，只需看 $x$ 的范围。

先看一道例题

例 1：直线上的最大角

$A (- 1, 0), B (3, 0)$ ， $P$ 在直线 $y = 2$ 上。求 $∠ A PB$ 的最大值和此时 $P$ 的坐标。

怎么看出来：

若点积总是非负，且有一个点等于 $0$ ，那么角最大就是 $9 0^{\circ}$ ，不用求正切。

解：

设 $P (x, 2)$ ，向量非零。点积 $= (- 1 - x) (3 - x) + 4 = x^{2} - 2 x - 3 + 4 = (x - 1)^{2} \geq 0$ ，所以 $∠ A PB \leq 9 0^{\circ}$ 。 $x = 1$ 时点积为 $0$ ， $∠ A PB = 9 0^{\circ}$ ，取到了。检查： $P (1, 2)$ ， $P A = (- 2, - 2)$ ， $PB = (2, - 2)$ ，点积 $= - 4 + 4 = 0$ 。也可以看中点： $M (1, 0)$ ，以 $A B$ 为直径的圆半径是 $2$ ，直线 $y = 2$ 恰好与它相切于 $(1, 2)$ 。

答案：

最大值 $9 0^{\circ}$ ，此时 $P (1, 2)$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
动点 $P$ 看两个定点，问 $∠ A PB$ 是锐角、钝角还是直角	写出点积，看正负
$P$ 在圆上，点积含 $x^{2} + y^{2}$	用圆方程消去二次项
问 $∠ A PB$ 的最大值，点积看起来总不为负	说明点积 $\geq 0$ ，再找点积为 $0$ 的点；找得到，最大值就是 $9 0^{\circ}$
圆上的一次式 $a x + b y$ 的范围	平移圆心，再用配方不等式（见进阶“圆上一次式”）
$P$ 在直线上，问张角最大时的位置	写叉积和点积之比，分正负比较（见进阶“叉积与正切”）

三、怎么用

写出向量。例如 $A (- 1, 0), B (1, 0)$ ， $P (x, 2)$ 在直线 $y = 2$ 上： $P A = (- 1 - x, - 2)$ ， $PB = (1 - x, - 2)$ 。
算点积并化简。 $(- 1 - x) (1 - x) + 4 = x^{2} - 1 + 4 = x^{2} + 3$ 。
看正负。 $x^{2} + 3 \geq 3 > 0$ ，点积总是正的。
确认向量非零并下结论。 $P$ 的纵坐标是 $2$ ，不会和 $A, B$ 重合，所以这条直线上 $∠ A PB$ 总是锐角。代 $x = 0$ 检查： $(- 1, - 2) \cdot (1, - 2) = - 1 + 4 = 3$ ，与 $x^{2} + 3$ 一致。

四、再做一道

例 2：圆上哪些点看成钝角

$P (x, y)$ 在圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上， $A (1, 0), B (3, 0)$ 。求 $∠ A PB$ 为钝角时 $x$ 的范围。

怎么看出来：

圆方程能把 $x^{2} + y^{2}$ 消掉，点积变成一次式。还要留意 $P$ 落在线段 $A B$ 上的情况。

解：

点积 $= (1 - x) (3 - x) + y^{2} = x^{2} + y^{2} - 4 x + 3 = 7 - 4 x$ 。圆上有 $- 2 \leq x \leq 2$ ，且 $P$ 不会与 $A, B$ 重合（ $A$ 在圆内， $B$ 在圆外）。点积小于 $0$ 时 $x > \frac{7}{4}$ 。但 $x = 2$ 时 $P (2, 0)$ 在线段 $A B$ 上， $∠ A PB = 18 0^{\circ}$ ，是平角，不算钝角。检查： $x = \frac{7}{4}$ 时 $y^{2} = 4 - \frac{49}{16} = \frac{15}{16}$ ，点积 $= (- \frac{3}{4}) (\frac{5}{4}) + \frac{15}{16} = 0$ ，是直角。

答案：

$\frac{7}{4} < x < 2$ 。

五、容易错在哪

点积只能判断锐角、直角、钝角。两个锐角比大小时，点积小的角不一定大，因为边长也在变。
钝角的正切是负数，把它和锐角的正切直接比会得出错误结论。比正切之前先说明点积大于 $0$ 。
$P$ 与 $A$ 或 $B$ 重合时向量为零，角没有意义，要排除。 $P$ 在线段 $A B$ 内部时点积为负，但角是 $18 0^{\circ}$ ，不是通常说的钝角。
求最大值时要看直线上的所有位置，包括参数的两侧和走向无穷远的情况。
把坐标伸缩成圆以后，点积和角度都变了，不能在伸缩后的坐标里用普通点积算原来的角。

进阶：圆上一次式 · 先修：三角函数

圆上一次式的范围

设 $u^{2} + v^{2} = r^{2}$ （ $r > 0$ ）， $a, b$ 不全为 $0$ 。由 $(a^{2} + b^{2}) (u^{2} + v^{2}) - (a u + b v)^{2} = (a v - b u)^{2} \geq 0$ 得 $∣ a u + b v ∣ \leq r a^{2} + b^{2}$ 。等号在 $(u, v) = \pm \frac{r}{a ^{2} + b ^{2}} (a, b)$ 时取到，所以这就是最大值和最小值。圆心不在原点时，先写 $x = h + u, y = k + v$ 平移过去。

例 3：点积最小不等于角最大

$P$ 在圆 $(x - 3)^{2} + (y - 3)^{2} = 2$ 上， $A (- 1, 0), B (1, 0)$ 。求 $P A \cdot PB$ 的最小值，并判断此时 $∠ A PB$ 是否最大。

怎么看出来：

先消二次项求最小值。角的大小还和两条边的长度有关，要另外比较。

解：

点积 $= x^{2} + y^{2} - 1$ 。圆方程展开得 $x^{2} + y^{2} = 6 x + 6 y - 16$ ，所以点积 $= 6 x + 6 y - 17$ 。设 $x = 3 + u, y = 3 + v$ ， $u^{2} + v^{2} = 2$ ，则点积 $= 6 u + 6 v + 19$ 。由配方不等式 $∣6 u + 6 v ∣ \leq 2 \cdot 72 = 12$ ，所以点积的最小值是 $7$ ，在 $u = v = - 1$ ，即 $P (2, 2)$ 时取到。此时 $P A = (- 3, - 2), PB = (- 1, - 2)$ ，叉积 $= 6 - 2 = 4$ ，由正切公式（见进阶“叉积与正切”）得 $tan ∠ A PB = \frac{4}{7}$ 。再取圆上的点 $Q (\frac{8}{5}, \frac{14}{5})$ （ $u = - \frac{7}{5}, v = - \frac{1}{5}$ ）：点积 $= \frac{47}{5}$ ，大于 $7$ ；叉积绝对值 $= \frac{28}{5}$ ， $tan ∠ A QB = \frac{28}{47}$ 。因为 $28 \cdot 7 = 196 > 188 = 4 \cdot 47$ ，所以 $\frac{28}{47} > \frac{4}{7}$ ， $Q$ 处的角更大。

答案：

最小值 $7$ ；此时 $∠ A PB$ 不是最大。

进阶：叉积与正切 · 先修：三角函数

叉积与正切

$(a, b)$ 和 $(c, d)$ 的叉积定义为 $a d - b c$ 。展开可验证 $(a c + b d)^{2} + (a d - b c)^{2} = (a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2})$ 。又点积 $= ∣ u ∣∣ v ∣ cos θ$ ，于是叉积的绝对值 $= ∣ u ∣∣ v ∣ sin θ$ （ $sin θ \geq 0$ ）。所以点积大于 $0$ 时， $tan θ = \frac{∣ 叉积 ∣}{点积}$ 。 $tan$ 在 $0^{\circ}$ 到 $9 0^{\circ}$ 之间递增，所以在都是锐角的范围里，比 $tan$ 就是比角。钝角的正切是负数，不能和锐角这样比。

直线上的动点：分正负再比较

沿直线写 $P$ 的坐标，用一个参数表示点积和叉积。叉积带绝对值时按正负分开。要说明最大值，还要看 $P$ 在直线 $A B$ 上以及 $P$ 走向无穷远（ $tan θ$ 趋于 $0$ ）时的情况。 $P$ 在直线 $A B$ 上时叉积为 $0$ ：在线段 $A B$ 外角为 $0^{\circ}$ ，在线段内部角为 $18 0^{\circ}$ （此时点积为负，正切公式不适用），与端点重合时角没有意义。形如 $a t + \frac{b}{t}$ （ $a, b, t > 0$ ）的最小值用配方： $a t + \frac{b}{t} - 2 ab = (a t - \frac{b}{t})^{2} \geq 0$ ，等号在 $a t = \frac{b}{t}$ 时成立。

例 4：垂直于线段的直线

$A (0, 1), B (0, 4)$ ， $P (x, 0)$ 在 $x$ 轴上。求 $tan ∠ A PB$ 的最大值和此时的 $x$ 。

怎么看出来：

$A, B$ 都在 $y$ 轴正半轴上，点积总是正的，所以可以比正切。

解：

$P A = (- x, 1), PB = (- x, 4)$ 。点积 $= x^{2} + 4 > 0$ ，角都是锐角或 $0^{\circ}$ 。叉积 $= - 4 x + x = - 3 x$ ，所以 $tan ∠ A PB = \frac{3∣ x ∣}{x ^{2} + 4}$ 。 $x = 0$ 时 $P$ 在直线 $A B$ 上，角为 $0^{\circ}$ 。 $x \neq = 0$ 时分子分母同除以 $∣ x ∣$ ，得 $\frac{3}{∣ x ∣ + \frac{4}{∣ x ∣}}$ 。由 $∣ x ∣ + \frac{4}{∣ x ∣} - 4 = \frac{( ∣ x ∣ - 2 ) ^{2}}{∣ x ∣} \geq 0$ ，分母至少是 $4$ ，等号在 $∣ x ∣ = 2$ 时成立。所以最大值是 $\frac{3}{4}$ 。检查： $x = 2$ 时 $P A = (- 2, 1), PB = (- 2, 4)$ ，点积 $8$ ，叉积 $- 6$ ，比值 $\frac{3}{4}$ 。

答案：

最大值 $\frac{3}{4}$ ，此时 $x = \pm 2$ 。

例 5：斜直线：两侧要比较

$A (- 1, 0), B (1, 0)$ ， $P$ 在直线 $y = x + 2$ 上。求 $tan ∠ A PB$ 的最大值。

怎么看出来：

设 $P (t, t + 2)$ ，点积恒正。 $t + 2$ 有正有负，叉积的绝对值要分情况。

解：

点积 $= t^{2} + (t + 2)^{2} - 1 = 2 t^{2} + 4 t + 3 = 2 (t + 1)^{2} + 1 > 0$ ，所以都是锐角或 $0^{\circ}$ 。叉积： $P A = (- 1 - t, - t - 2), PB = (1 - t, - t - 2)$ ，叉积 $= (1 + t) (t + 2) + (1 - t) (t + 2) = 2 (t + 2)$ 。令 $s = t + 2$ ，则点积 $= 2 s^{2} - 4 s + 3$ ， $tan ∠ A PB = \frac{2∣ s ∣}{2 s ^{2} - 4 s + 3}$ 。 $s = 0$ 时角为 $0^{\circ}$ 。 $s > 0$ 时比值 $= \frac{2}{2 s + \frac{3}{s} - 4}$ ；因为 $2 s + \frac{3}{s} \geq 26$ ，等号在 $s = \frac{3}{2}$ 时成立，且 $26 - 4 > 0$ ，所以最大值是 $\frac{2}{2 6 - 4} = \frac{6 + 2}{2}$ 。 $s < 0$ 时设 $w = - s > 0$ ，比值 $= \frac{2}{2 w + \frac{3}{w} + 4} \leq \frac{2}{2 6 + 4}$ ，更小。 $∣ s ∣$ 很大时比值趋于 $0$ ，不影响最大值。

答案：

最大值 $\frac{6 + 2}{2}$ 。

真题

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参数化几何最值与三角降次

消去其他点后，保留一个真实可行参数，再求全局界。

完整讲解 · 例题 · 可练 10 题

一、是什么

先认识这些量

单位圆点可写 $(cos t, sin t)$ 。参数化表达式必须覆盖原构型，并明确是否有删点。

为什么这样做

坐标线性式的最大值可由柯西不等式得到；平方量可转为 $cos^{2} t$ 的一次式，端点需回到圆上验证。

先看一道例题

例 1：坐标和

$x^{2} + y^{2} = 1$ ，求 $x + y$ 最大值。

怎么看出来：

目标是单位方向投影。

解：

$(x + y)^{2} \leq 2 (x^{2} + y^{2}) = 2$ ，所以 $x + y \leq 2$ ；在 $x = y = 1/ 2$ 取等。

答案：

$2$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
圆心距、折线距离、射线交圆或交线的长度比已能用一个实参数或方向角表达。	消去其他点后，保留一个真实可行参数，再求全局界。
$x^{2} + y^{2} = 1$ ，求 $x + y$ 最大值。	目标是单位方向投影。

三、怎么用

证明参数能覆盖所有允许点。
将目标变成一元函数。
比较驻点、端点和分段点。
重建取等点并核全部约束。

四、再做一道

例 2：加权平方

$x^{2} + y^{2} = 1$ ，求 $x^{2} + 4 y^{2}$ 值域。

怎么看出来：

消去横坐标平方。

解：

目标为 $1 + 3 y^{2}$ ， $0 \leq y^{2} \leq 1$ ，故值域 $[1, 4]$ ，两轴端点分别取等，连续性填满中间值。

答案：

$[1, 4]$ 。

五、容易错在哪

分步取最值时要保证被消去的点能够同时实现等号。

真题

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相切与正交的圆心距离条件

圆相切用圆心距等于半径和或差；正交用圆心距平方等于半径平方和。

完整讲解 · 例题 · 可练 4 题

一、是什么

先认识这些量

相切是只有一个公共点，分外切和内切。两圆正交指交点处切线互相垂直，也等价于两条交点半径垂直。

为什么这样做

交点两半径和圆心连线组成三角形。外切、内切对应退化三角形，正交对应直角三角形。

先看一道例题

例 1：外切与内切

两圆半径为 $2, 1$ ，当圆心距分别为 $3, 1$ 时，是什么位置关系？

怎么看出来：

分别比较半径和与差。

解：

$3 = 2 + 1$ 时外切； $1 = 2 - 1 > 0$ 时内切，两半径不同，不是重合圆。

答案：

分别外切、内切。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
两圆只有一个交点、三条直线的公共切圆，或两圆交点处切线垂直。	圆相切用圆心距等于半径和或差；正交用圆心距平方等于半径平方和。
两圆半径为 $2, 1$ ，当圆心距分别为 $3, 1$ 时，是什么位置关系？	分别比较半径和与差。

三、怎么用

求两圆圆心与正半径。
相切时分别检查半径和与差。
正交时列勾股关系。
排除重合圆并核真实交点。

四、再做一道

例 2：正交圆

圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 与 $(x - 2)^{2} + y^{2} = 1$ 是否正交？

怎么看出来：

圆心距平方为两半径平方和。

解：

$d^{2} = 2 = 1 + 1$ 。交点为 $(1/ 2, \pm 1/ 2)$ ，两半径点积 $- 1/2 + 1/2 = 0$ ，确实正交。

答案：

正交。

五、容易错在哪

圆心重合且半径相等是重合圆，不能称为内切。

真题

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误区对照

容易误以为

过点 $P (2, 3)$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 的切线：设 $y - 3 = k (x - 2)$ ，由 $\frac{∣3 - 2 k ∣}{1 + k ^{2}} = 2$ 得 $k = \frac{5}{12}$ ，所以只有一条切线 $5 x - 12 y + 26 = 0$ 。

应当这样想

点斜式不能表示竖直直线。直线 $x = 2$ 到圆心距离为 $2$ ，等于半径，也是切线。圆外一点恰有两条切线： $5 x - 12 y + 26 = 0$ 与 $x = 2$ 。

为什么

关于 $k$ 的方程平方后二次项抵消，说明另一条切线的斜率不存在；设斜率前必须单查竖直线。

容易误以为

点 $P (1, 0)$ 到圆 $x^{2} + y^{2} = 9$ 上点的最短距离为 $∣ OP ∣ - r = 1 - 3 = - 2$ ，所以“最短距离”不存在。

应当这样想

$P$ 在圆内。圆上点 $Q$ 满足 $∣ PQ ∣ \geq r - ∣ OP ∣ = 2$ ，在射线 $OP$ 与圆的交点 $(3, 0)$ 处取等；最长距离为 $r + ∣ OP ∣ = 4$ ，在 $(- 3, 0)$ 取到。

为什么

点到圆的最近、最远距离沿过圆心的直线取到，公式是 $∣ OP ∣ - r$ 与 $∣ OP ∣ + r$ ；先判断点在圆内还是圆外。

容易误以为

方程 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 6 = 0$ 配方得 $(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = - 1$ ，它表示圆心 $(- 1, 2)$ 的圆。

应当这样想

右端 $- 1 < 0$ ，没有实数点满足，方程表示空集。一般式 $x^{2} + y^{2} + D x + E y + F = 0$ 表示圆当且仅当 $D^{2} + E^{2} - 4 F > 0$ ；这里 $4 + 16 - 24 = - 4 < 0$ 。

为什么

圆心坐标总能配方读出，但半径平方必须严格为正；等于零只是一点，小于零没有图形。

概念自测

先想清楚，再确认判断。这些自测只帮助辨清概念，不计入真题做对率。

真题 · 56 道

从易到难排列。圆点表示你在这台设备上的做题情况：绿色做对、黄色部分做对、红色没做出。