2015 年湖北预赛 · 第 6 题

解答

令 $\theta =\angle CAP\in (0,\pi /2)$，$u=AC>0$、$v=AB>0$。 由于 $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{AC}$ 且 $P$ 在同一平面内， 两给定内积均为正，$\overrightarrow{AP}$ 沿 $AC,AB$ 的投影都为正。 由 $|AP|=2$，得到

因此

等号条件为 ${\cos }^2\theta =2{\sin }^2\theta$，即 $\boxed{\tan \theta =\sqrt{2}/2}$。该角在所给锐角范围内，取上述正长度 $u,v$ 并构造 长为 $2$、与 $AC$ 成此角的 $AP$，两个内积条件都成立，故最小模 $7/2$ 确可取得。