同一骨架 2023 年江西预赛 · P006720
两题都把复杂根式与候选界比较，平方或配方后出现一个明确的非负剩余项。先核两边符号，再把取等条件还原到原变量，才能同时证明界与界的可达性；直接展开求导会掩盖这个结构。
一题把根号内拆成两个平方并与其中一个分量比较，另一题归一化、开方换元后对目标差作完全平方分解。
培玉 · 一试
2023 年吉林预赛
F3选择题函数的值域
设函数
则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
作答
标准答案：A
解析
思路
把根式配成以 为一条直角边的平方和。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
令 。恒等式
给出
当 或 时， 且 ，等号成立。因此最小值为 ，选 。
复核
配方展开与原根式完全一致；两个等号点均在函数定义域内。
方法总结
多项式根式最值可尝试配成 ，再用欧氏长度不小于单个分量。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
需围绕目标中的x平方减x把根式配为(4-u)平方加另一个平方，从而建立可同时取等的绝对值下界。
联系 · 2 条
同一骨架 2025 年吉林预赛 · P006276
两题都将目标写成一个基准量加平方和根式，利用欧氏长度不小于单个分量给出全局下界。剩余平方必须为零，且绝对值应处于正确分支，才是合法等号；问完整值域时还需补连续性和延伸方向。
两式的多项式次数和基准量不同，但无需逐项求根式导数；应先寻找能与目标常数配平的那个平方。
已记下，谢谢！