2025 年中科大少年班入围考 · 第 11 题

解答

$2025=3^4\cdot 5^2$ 有十五个正因数，全部为奇数。$m^2-n^2=2025$ 等价于两个不等正奇因子 $m-n<m+n$ 的乘积为二千零二十五。十五个因数中的相等一对被排除，故 $M=(15-1)/2=7$。 对 $x^2+y^2=2025$，模三得 $3\mid x,y$；除九后再模三，得二者都被九整除。写 $x=9u,y=9v$，有 $u^2+v^2=25$。正整数解仅 $(3,4),(4,3)$，所以 $N=2$。故 $\boxed{M-N=5}$。