2025 年中科大少年班营二 · 第 5 题

解答

设

因为 $\mathcal{P}(\Omega )$ 是 $\sigma$-代数并包含 $\mathcal{A}$，所以 $\mathfrak{C}$ 非空。定义

每个 $\mathcal{F}\in \mathfrak{C}$ 都包含 $\Omega$，故 $\Omega \in {\mathcal{F}}_0$。若 $E\in {\mathcal{F}}_0$，则 $E$ 属于所有这样的 $\mathcal{F}$，因各 $\mathcal{F}$ 对补集封闭，$\Omega \setminus E$ 也属于所有 $\mathcal{F}$，从而属于 ${\mathcal{F}}_0$。若 $E_1,E_2,\dots \in {\mathcal{F}}_0$，则对每个 $\mathcal{F}\in \mathfrak{C}$，所有 $E_n$ 均在 $\mathcal{F}$ 内，因此 ${\bigcup }_{n=1}^{\infty }{E}_n\in \mathcal{F}$；再取所有 $\mathcal{F}$ 的交，得到该可列并属于 ${\mathcal{F}}_0$。所以 ${\mathcal{F}}_0$ 是 $\sigma$-代数。

每个 $\mathcal{F}\in \mathfrak{C}$ 都包含 $\mathcal{A}$，故 $\mathcal{A}\subseteq {\mathcal{F}}_0$。任取另一个包含 $\mathcal{A}$ 的 $\sigma$-代数 $\mathcal{G}$，有 $\mathcal{G}\in \mathfrak{C}$，由交的定义得 ${\mathcal{F}}_0\subseteq \mathcal{G}$。这就证明

若还存在另一个最小者，它与 ${\mathcal{F}}_0$ 相互包含，因而相等。