易混 2022 年全国高中数学联赛一试（B 卷） 第 5 题 · P007220
两题的分式都含共轭，但可用的简化来自不同条件。一般非零数与其共轭之比只能先确定模；只有已知单位模时，才能把共轭替换成倒数并进一步约分。先辨明哪一个整体是单位模，比直接套式更可靠。
前题先把平移线性式作为整体，再结合原等式的模与方向；后题单位模属于原变量，约去公因子时仍要保留原来的分母禁值。
培玉 · 一试
2024 年江西预赛
F2填空题复数的概念与运算
设复数 满足
则 的值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
把分式识别为某个非零复数与其共轭之比，先比较模，再比较辐角。
解答
令 ，则 ，且原式为
左边的模为 ，所以 ；同时 ，故 为纯虚数，从而 。于是
所以 。
复核
此时 ，确有满足分母非零的复数解。
方法总结
形如 的复数模恒为 ，其为 当且仅当 为非零纯虚数。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
令w=2z-1后分式模恒为2，同时得z模与实部，目标距离无需逐个求z。
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