培玉 · 一试
一试训练题
F3填空题导数的应用
三次多项式f(x)=ax³+bx²+cx+d在[-1,1]上满足|f′(x)|≤2。求a的最大值。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
导数在区间两端与中心的二阶差提取最高次系数。
解答
令q=f′，则q(-1)+q(1)-2q(0)=6a。由三处模长均不超过2，有6a≤2+2+4=8，故a≤4/3。取q=4x²-2，在整个[-1,1]上属于[-2,2]，积分可取f=(4/3)x³-2x，达到a=4/3。 所求为 。
复核
区间和导数上界都已改变；必要界之外检查等号构造在全区间合法，且为真正三次多项式。
方法总结
导数在区间两端与中心的二阶差提取最高次系数。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
导数在区间两端与中心的二阶差提取最高次系数。
已记下，谢谢！