易混 2023 年山东预赛 · P006743
两题都借“一个表达式必须是整数”制造算术障碍，但何时可以谈整除必须先证清。原变量只是实数时，不能把提取出的另一个实因子当作整数；整数变量的二次方程则可直接要求判别式是整数平方。
前题先由多个质数值推出一个有理表达式的整性，再做模素数分析；后题从整数根条件出发检查平方的素因子指数。
培玉 · 一试
2024 年贵州预赛
F3解答题数论
已知 为正整数，证明：方程
无解。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
思路
把方程视为关于整数 的二次方程，其判别式恰化为非平方数。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
由 ，关于 的二次方程的判别式为
若整数根 存在，则 必须是整数平方；但上式中非零平方数乘以 不可能仍是平方数，矛盾。故原方程无正整数解。
复核
，所以判别式非零；质因数 的指数为奇数，确实不是平方。
方法总结
含一个整数变量的二次丢番图方程，先检查判别式是否可能为整数平方。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
须选a为二次变量并将判别式整理成2乘非零平方，才能利用2的指数奇偶性排除全部整数根。
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同一骨架 2022 年北京预赛 · P006782
两题在求整数解之前，都先找一个原条件强迫成为平方的量，再用算术性质证明它不可能是平方。这个局部障碍一旦建立，就能一次排除全部整数候选，无须无界试算。
一题在选定模数下把二次型压成一个平方，另一题把方程视为一元二次式检查判别式；要核的是剩余类或素因子指数，而不是判别式仅仅非负。
已记下，谢谢！