同一骨架 2011 年天津预赛 第 15 题 · P010345
非线性递推先找相邻项满足的二次恒等式，再把相邻两式对照，常能恢复隐藏的二阶线性递推。消根或约分需要的正性，必须由原初值和递推事先保证。
前题先按下标归一化，再从相邻乘积差提取恒定比值并解通项；后题从平方关系恢复前一项，确定根号的正号，第二问只需几何增长而不必写通项。
培玉 · 一试
2008 年天津预赛 · 第 14 题
F4解答题递推数列
已知数列 满足
求 的通项公式。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
常系数递推 可试 ，得到特征方程；不同根的幂序列线性组合由两初值确定。
想法从哪来：先算几项会看到分母中的n与相邻指标反复缠在一起。与其直接猜通项，不如注意递推的系数恰为n平方和相邻整数之积，提示把每项乘上自己的指标。变换后，递推成为相邻三项乘积与中项平方相差常数的形式。这个“差为常数”在相邻位置各写一次再相减，常数就消失，留下一个相邻比值不变的关系。于是原先的非线性递推转成常系数二阶线性递推，特征根方法才有用武之地。所有除法之前先用正初值归纳项为正，最后把新数列除回指标并验两个初值。
下标的平方提示令 。归一化后比较相邻乘积恒等式，可找出隐藏的二阶线性递推。
解答
由正初值及递推归纳得 。令 ，则 ，且
并排写相邻两个恒等式并相减，得到
故 不随 改变。由 知其值为 ，即 。令 ，由两个初值得
因此
复核
线性递推依次给出 ，对应前两次乘积差为 、。一般地，该乘积差在 下保持不变；初值为 。通式两系数和两根都正，故没有除以零或选择负支的问题。
方法总结
带下标的非线性递推先归一化；相邻乘积差恒定时，首尾和除以中间项可能成为不变量。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
需先消去下标系数，再从非线性相邻乘积中提取隐藏不变量，最后解二阶线性递推并恢复通项，转化链较长。
联系 · 1 条
已记下，谢谢！