2009 年天津预赛 · 第 11 题

解答

沿底边依次为 $A,D,E,B$，其余边点按图为 $F,G,C,H,I$，中心为 $K$。六点 $D,E,F,G,H,I$ 构成以 $K$ 为中心的正六边形；三个外顶点为 $A,B,C$。 先证明任选五点必有等腰三角形。若选了 $K$，所选六边形点至多两个，且若有两个必须相对，否则它们与 $K$ 组成等腰三角形。外顶点也至多两个，否则自身为正三角形。五点便只能为 $K$、两个外顶点及两个相对六边形点。但是每个已选外顶点附近的两个边点都不能选，例如 $A$ 附近的 $D,I$ 分别与 $A,K$ 组成等腰三角形。两个外顶点排掉四个边点，余下的两个边点相邻而不相对，矛盾。 若未选 $K$，按外顶点数分类。至少三个外顶点已为正三角形；零个外顶点时，六边形中五点必含三个连续顶点，给等腰三角形。一个外顶点时有四个六边形点，而它到六点的距离只有三类、每类两点，例如从 $A$ 看三对为 $(D,I),(E,H),(F,G)$，每对与 $A$ 不共线，所以抽屉原理给等腰三角形。 最后为两个外顶点和三个边点。由对称性可设外点为 $A,B$。从 $A$ 看的三对等距边点如上，从 $B$ 看的为 $(E,F),(D,G),(H,I)$。这六对依次连成六点环 $D,I,H,E,F,G,D$。若所选三边点没有一对等距于 $A$ 或 $B$，它们必须是此六环的交错三点，即 $\{D,F,H\}$ 或 $\{E,G,I\}$，两者本身又是正三角形。所有情形都得矛盾。 因此任选五点一定可行；而 $A,D,E,B$ 四点共线，不能构成非退化三角形，所以最小值为 $\boxed{5}$。