2022 年吉林预赛

解答

先取 $\alpha =2/3$。令 $n=m=3$，用 $1$ 表示解出、$0$ 表示未解出，构造

前两名学生各解出两题，故至少有两名学生及格；前两道题各有两名学生未解出，故至少有两道难题。因此 $\alpha =2/3$ 时上述情形可能。

下面给出必要条件。设及格学生共有 $p$ 人，难题共有 $d$ 道，则

只看这 $p$ 名学生与 $d$ 道难题构成的子矩阵，并统计其中的“未解出”次数。

每名及格学生在全部 $m$ 道题中至多有 $(1-\alpha )m$ 道未解出，故子矩阵中的未解出次数至多为

另一方面，每道难题至少有 $\alpha n$ 人未解出，其中不及格学生至多贡献 $n-p$ 次，故每道难题在这 $p$ 名及格学生中至少有

人未解出。于是

令 $t=p/n\ge \alpha$，再用 $d\ge \alpha m$，得到

当 $\alpha >1/2$ 时，这等价于

因 $t\ge \alpha$，必有

即

所以 $\alpha =7/10>2/3$ 时上述情形不可能。

综上，