一试训练题

解答

记 $T_i=A_i\cap A$、$U_i=A_i\cap B$，则 $|T_i|=3$、$|U_i|=2$。若 $T_i=T_j$，交集至少有3个元素，矛盾。因此20个 $T_i$ 恰为6元集合 $A$ 的全部 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)=20$ 个三元子集。

先证下界。固定 $t\in B$，考虑所有满足 $t\in U_i$ 的 $T_i$。这些三元组两两交至多1个元素。再固定 $s\in A$，若其中有3个三元组都含 $s$，则这3个三元组除 $s$ 外的六个位置必须填入互不相同的元素，否则相应两个 $A_i$ 至少共有 $s,t$ 及另一元素。可是 $A\setminus \{s\}$ 只有5个元素，矛盾。所以每个 $s$ 在这批三元组中至多出现2次；若该批共有 $r$ 个三元组，便有 $3r\le 6\times 2$，即 $r\le 4$。

20个集合共使用 $20\times 2=40$ 次 $B$ 元素，每个 $B$ 元素至多出现4次，故 $|B|=n-6\ge 10$，即 $n\ge 16$。

再证 $n=16$ 可以达到。对 $A$ 使用下列五行配对；每个无序元素对恰在一行出现：

称三元组 $T$“横截”某一行，是指它在该行的每一对中恰取一个元素。对于每个 $T$，它与补集之间共有 $3\times 3=9$ 个无序对。这9个对分布在五行，每行有1个或3个跨越 $T$ 与补集的对；若有 $r$ 行各有3个，就有 $3r+(5-r)=9$，从而 $r=2$。这说明每个 $T$ 恰横截两行。

在它横截的每一行，统计 $T$ 选中该行配对的第二个元素的个数；个数为偶数则取偶标签，为奇数则取奇标签。把所得两个标签组成 $U(T)$，令 $A(T)=T\cup U(T)$。全部20个三元组各给一个五元素集合。

验证任意不同 $T,T^{\prime }$ 对应集合的交集至多2。若 $|T\cap T^{\prime }|=2$，在二者共同横截的一行中，它们只在剩下的一对上选择相反元素，所以奇偶标签不同，因而不共享任何 $B$ 标签。若 $|T\cap T^{\prime }|=1$，设共同元素为 $s$，两者都不含的唯一元素为 $v$。在共同横截的一行中，$s$ 必须与 $v$ 配对：$s$ 不能与任何属于二者之一的其他元素配对，否则该三元组会从这一对取两个元素。而配对 $\{s,v\}$ 仅出现一行，故二者最多共享一个标签。若 $T\cap T^{\prime }=\varnothing$，二者的 $B$ 部分本来各只有两个元素，交集也不超过2。分类穷尽，构造合法。

因此最小值是 $\boxed{16}$。