2009 年安徽预赛 · 第 1 题

解答

记 $E=(b-d{)}^2+(a-c)(ad-bc)$。若 $a\ne c$，两方程相减说明唯一可能的公共根为 $r=(d-b)/(a-c)$。将它代入第一方程并乘以 $(a-c{)}^2$，得到恰为 $E$，故存在公共根当且仅当 $E=0$。此时 $r$ 为实数，且差方程确保它也满足第二式；两式至多有这一个公共根。 若 $a=c$ 而 $b\ne d$，两式相减为非零常数，没有公共根。若 $a=c,b=d$，两方程相同，恰有一个不同根当且仅当其判别式为0，即 $a^2=4b$。 所以全部条件为