专题地图 › 三角恒等变形
2026 年新疆预赛
二十度与四十度的三角恒等式
F2填空题三角恒等变形
求
sin220∘+cos250∘+2sin20∘sin30∘sin40∘
的值。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：43
解析
思路
先用余函数关系与 sin30∘=1/2，把原式化为只含 sin20∘,sin40∘ 的对称式，再用积化和差消去。
解答
因为
cos50∘=sin40∘,2sin30∘=1,
原式等于
sin220∘+sin240∘+sin20∘sin40∘.
由
sin2α=21−cos2α,sinαsinβ=2cos(α−β)−cos(α+β),
可得原式为
1−2cos40∘+cos80∘+2cos20∘−cos60∘.
又
cos40∘+cos80∘=2cos60∘cos20∘=cos20∘,
故原式为
1−21cos60∘=43.
复核
最后一步中 cos20∘ 两项正好抵消，而 cos60∘=1/2，所得数值位于各非负项可能达到的合理范围内。
方法总结
含 20∘,40∘,60∘ 的式子常先把平方降幂、乘积积化和差， 再利用两角和为 120∘ 的余弦和公式。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
先统一50度余弦为40度正弦，再降幂与积化和差，40度和80度余弦和恰抵消20度项。
用到的方法（会透露解法方向）
核心工具：三角恒等变形
专题卡：特殊角的乘积或和式：配对，用积化和差和和差化积、三角的平方、立方、四次方：降次或配方，只算需要的量
培玉 · 一试