2025 年贵州预赛

解答

不妨设正三角形边长为 $1$，取

记

因为 $\angle ABD=\angle ACD=60^{\circ }$，两三角形的外接圆半径都为

由面积除以半周长，$△ABD$ 的内切圆半径为

其中用了 $(1+t{)}^2-u^2=3t$。同理

由三角形的欧拉公式 $O{I}^2=R(R-2r)$，

又因 $X,Y$ 分别在 $B,C$ 的 $60^{\circ }$ 角平分线上，并且到 $BC$ 的距离分别是 $r_1,r_2$，所以

于是

最后一步使用 $u^2=t^2-t+1$。由 (1)(2) 即得