2026 年福建预赛

思路

恒成立参数的最大值是对应上界函数的下确界，下确界可以只在端点极限逼近。小角估计可用 $\sin t<t$、$\cos t\ge 1-t^2/2$；有限正项和可放大成收敛无穷几何级数。

想法从哪来：第一问的参数乘在一个正因子上，先除去它，把问题改写为一族上界共同限制参数。角趋于零时的比值提示临界常数，但端点极限只能给必要性，仍需证明整段区间不低于该值。对“原函数减候选直线”求导，再将余弦作为变量，便能检查差是否恒正。 第二问要求的是和的上界，不能直接拿第一问的下界相加。注意各角按固定倍数迅速缩小：把较大的首项精确算出，余项都在很小区间内，用正弦小于角、余弦有统一正下界取得线性上界。最后角度的和是几何级数，只要常数留有余量，就无需追求最紧估计。

第一问除以正量 $x\cos x$，考察 $\tan x+2\sin x-3x$ 的单调性。 第二问首项可以精确计算，其余各项的自变量不超过 $\pi /16$；在这一区间给 $\tan x+2\sin x$ 建立线性上界，再对几何级数求和即可留出严格余量。