2025 年广西预赛

解答

令 $X=x/5,Y=y/4$。联立 $X+Y=1$ 与 $X^2+Y^2=1$，得 $XY=0$， 故可取

直线 $AB$ 的方程为 $4x+5y-20=0$。设 $P=(x,y)$，则

面积等于 $9$ 等价于

在椭圆上写 $x=5\cos t,y=4\sin t$，则

故 (1) 中第一条直线与椭圆无交点。由于 $|2|<20\sqrt{2}$，第二条直线穿过椭圆内部， 与椭圆有两个不同交点。因此这样的点 $P$ 有

个。