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2023 年甘肃预赛
F2解答题三角函数综合
已知 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c，且
3bcos2A+B=csinB.
- (1)
- (2)
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
思路
先用 A+B=π−C 和正弦定理消去边长，第一问直接确定半角；第二问再把边长条件化成正弦和式。
解答
由
cos2A+B=sin2C
及正弦定理 b=2RsinB,c=2RsinC，原条件化为
3sinBsin2C=sinCsinB=2sin2Ccos2CsinB.
三角形内角均为正，故可约去 sinBsin(C/2)，得到
2cos2C=3.
因 0<C<π，所以
C=3π.
若再有 a+b=3c，由正弦定理和 C=π/3，得
sinA+sinB=3sinC=23.
又 A+B=2π/3，故
sinA+sinB=2sin2A+Bcos2A−B=3cos2A−B.
于是
cos2A−B=23.
因为 (A−B)/2∈(−π/3,π/3)，所以
2A−B=±6π.
结合 A+B=2π/3，得到 A=π/6 或 A=π/2。因此
sinA=21 或 1.
复核
两组角 (A,B,C)=(30∘,90∘,60∘) 与 (90∘,30∘,60∘) 都满足全部条件，两个答案均可达到。
方法总结
边角混合关系中若出现 (A+B)/2，先用三角形内角和改写为 C 的半角，再借正弦定理统一边长。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
正弦定理约去正因子先确定C，再由角和及正弦和求A减B的两个可能值。
用到的方法（会透露解法方向）
核心工具：正弦定理与余弦定理、反求全部合法输入并筛选
专题卡：边和角混在一起：用正弦、余弦定理统一成一种、三角方程：先把所有的角列全，再逐个筛选
培玉 · 一试