2015 年安徽预赛 · 第 4 题

解答

奇性给 $f(0)=0$，而 $f(\pi )=f(-\pi )=-f(\pi )$，所以所有 $k\pi$ 都是零点。由已知两个零点再结合奇性与周期，$2k\pi \pm 3$、$2k\pi \pm 4$ 也都是零点。用 $3<\pi <22/7$ 检查，在 $[0,10]$ 中三族分别为

这些点互不相同，共 $11$ 个。取

它是 $2\pi$ 周期的奇函数，满足 $F(3)=F(4)=0$，而其零点恰由上述三族给出，故在该区间恰有 $11$ 个零点。因此所求最少个数为 $\boxed{11}$。