垫脚石（此题 → 相关题） 2022 年重庆预赛 · P006778
先在单一相位函数上练习按等距相位点数零点与极值点，再处理须先解三角函数值的参数方程。后一题把代数根分成区间内值、端值与越界值，每一类在正负半波中的原像数不同，前题的相位计数是进一步分类的基础。
前题的相位序列已经明确，只需核开端点；后题要先确定哪些正弦水平值可取，再结合半波奇偶计数，不能把每个代数根一律按两次出现计算。
培玉 · 一试
2025 年新疆预赛
正弦型函数在开区间内的极值点与零点计数
F2填空题三角函数的图象与性质
已知函数
若函数 在区间 上恰有三个极值点和三个零点，则 的取值范围为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
把函数合成为一个正弦函数，并把开区间映射到相位区间。
思路
零点对应整数倍 ，极值点对应半整数倍 ，端点是否计入决定参数范围的开闭。
解答
有
当 时，相位
遍历开区间
零点满足 。区间（1）中最先可能出现的是 ；恰有三个零点等价于包含 而不包含 ，故
极值点满足 。恰有三个极值点等价于包含 而不包含 ，故
联立（2）（3），得到
复核
当 时，第三个零点落在右端点 ，不能计入，故左端严格；当 时，第四个极值点落在右端点，仍只有三个，故右端可取。
方法总结
正弦型函数在开区间内的零点、极值点计数，应转成等距相位点落入开区间的个数；参数端点要逐一判断相位点是否恰落在原区间端点。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
统一相位后分别数整数倍pi和半整数倍pi，两个计数区间求交；关键端点由原开区间决定。
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