2020 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 5 题

解答

中线定理给 $4\cdot 10+A{C}^2=2(6^2+4^2)$，所以 $AC=8$。余弦定理得 $\cos A=(6^2+8^2-4^2)/(2\cdot 6\cdot 8)=7/8$。令 $u={\sin }^2(A/2),v={\cos }^2(A/2)$，则 $u+v=1,uv={\sin }^{2}A/4$。目标 $u^3+v^3=1-3uv=1/4+3{\cos }^{2}A/4=\boxed{211/256}$。