2022 年甘肃预赛

已知数列 ${a_{n}}$ 满足：对任意正整数 $n$ ，有

a_{n} (2 S_{n} - a_{n}) = 1,

其中 $S_{n}$ 表示数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和。求证：

（1）对任意正整数 $n$ ，有 $a_{n} < 2 n$ ；

（2）对任意正整数 $n$ ，有 $a_{n} a_{n + 1} < 1$ 。

作答

这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。

为什么评为 F3（会透露解法方向）

关键是把a_n(2S_n-a_n)识别成S_n²-S_(n-1)²，从而仅确定S_n的绝对值；后续必须保留正负自由并分析相邻乘积为正的情形。

用到的方法（会透露解法方向）

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