同一骨架 2024 年福建预赛 · P006443
两题都必须先求截平面与立体表面的真实边界，再计算长度或内角。题中给出的三个共面点只负责确定平面，未必彼此就是截面邻点；逐棱求交、逐面连线后，才能知道周长应加哪些边、顶点角应取哪两条射线。
前题还须由平面倾角确定动点高度，后题则特别容易把两个已给定点直接与指定顶点相连，算成不属于截面边界的角。
培玉 · 一试
2022 年全国高中数学联赛一试（A2 卷） · 第 6 题
F3填空题截面与折叠
如图，正方体 中， 分别为棱 的中点，过 三点作该正方体的截面，已知截面是一个多边形 ，则 在顶点 处的内角的余弦值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
不能直接把 当作截面在 处的两边。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
先求截面平面与正方体表面的交线，明确两条邻边，再算其夹角。
解答
不妨设棱长为 ，取坐标
于是 ，，，过三点的平面为
它在左侧面 的交线为 ，位于正方体内的线段端点是
它在顶面 的交线为 ，位于正方体内的线段端点是
在另外三个相交的面上，交线依次为 ，故截面是五边形 ，在 处的内角为 。 因此
复核
分别在 上且距相应前端均为棱长的 。也可由 、 用余弦定理复算。图中 是直线 与 延长线的交点，与平面坐标相容。
方法总结
截面角首先是截面边界的识别问题；确定经过顶点的两条实际交线后，再用长度或向量求角。辅助截面构造不得依赖示意图比例。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
必须先确定截面在D处的真实邻边而不是连接给定点，平面与两邻面相交定位后可按成熟向量方法求角。
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