易混 2010 年安徽预赛 第 3 题 · P009662
两题的二面角都应在公共棱的垂直截面内取指向指定面内部的两条射线，从它们的有符号点积或余弦定理读取角。
四面体题用三条棱夹角减去沿棱投影；正八面体题可直接作相邻等边面的共同高。两者都不能把内二面角替换为支持平面的锐角。
培玉 · 一试
2021 年山东预赛
F2填空题空间角与距离
四面体 中，， ，则二面角 的平面角 的余弦值是 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
二面角可由 在垂直于 的平面上的投影夹角得到，直接用向量内积计算。
解答
取 的单位方向向量分别为 。 它们在 上的投影为
两投影的长度均为 ，且
故
复核
投影向量均非零，且它们分别位于两个二面角的面内并垂直于棱 ，正是平面角的两边方向。
方法总结
已知三条棱两两夹角时，沿公共棱的二面角可用两向量的正交投影内积一次算出。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
将OA与OB的单位方向投影到OC垂面，点积减去沿棱共同分量后除以两投影模即为二面角余弦。
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