易混 2024 年浙江预赛 · P006620
两题都有球心到平面的距离，但外接球被平面所截，与内切球和面相切，是不同条件。前者需要把截圆半径和垂直距离配成直角三角形；后者球心到各面的距离本身就是内切半径，可用于总体积分割。
经过顶点不等于与面相切，截圆的圆心也不应被直接当作内切球心。
培玉 · 一试
2026 年江苏预赛
正四棱锥二面角与内切球半径
F2填空题立体几何综合
在正四棱锥 中，，侧面与底面所成二面角的正切值为 。则此正四棱锥的内切球半径为 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
过顶点、底面中心和底边中点作二面角的垂直截面，先由正切值求棱锥的高； 内切球半径再由 求出。
解答
设 为正方形 的中心， 为边 的中点，。 在平面 内， 就是侧面与底面所成的二面角，且
因此
侧面的斜高为
底面积为 ，四个侧面的总面积为
而棱锥体积为
若内切球半径为 ，把棱锥分成以内心为顶点、各面为底面的五个小棱锥，得到
故
复核
二面角截面中 ，所以正切比使用无误； ，数量级合理。
方法总结
正棱锥的二面角应在“顶点—底面中心—底边中点”截面中读取。 对有内切球的多面体， 能把球半径与总体积、总表面积直接联系起来。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
标准中轴截面把二面角正切化为高与半边长之比，求体表面积后用r=3V/S即可。
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