垫脚石（相关题 → 此题） 2025 年甘肃预赛 · P006213
先练从已知边长写出内心的正权重，再反向把内心到三顶点的线性关系与边长权重比较。三角形非退化时归一化的仿射坐标唯一，因而能从系数恢复边长比例，随后再处理角度。
前题给边长而求中心的向量系数；后题给中心系数而求几何量，权重与顶点对边的对应顺序在两个方向都不能错。
培玉 · 一试
2023 年山东预赛
F2填空题向量的数量积与几何意义
设 的内心为 ，满足
则 的值是。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
内心的重心坐标由三边长给出。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
题设正系数关系唯一确定三边之比，再用余弦定理求角 。
解答
记 。内心满足
三点 不共线，所以归一化后的重心坐标唯一。与题设比较得
由余弦定理，
复核
满足三角形不等式；内心坐标的三个权均为正，故没有旁心或有向坐标混淆。
方法总结
出现内心与顶点向量的正系数线性关系时，应优先与内心的边长重心坐标比较；得到边长比后再转入余弦定理。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
给定内心到顶点的线性关系直接对应对边长权重，得2:5:6后代入余弦定理即可，属于常用内心向量模型。
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