培玉 · 一试

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2021 年贵州预赛

F4选择题数论

已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = a_{2} = 1$ ， $a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n}$ ， $n \in N_{+}$ 。则（）（本题为多选题）

A.
只存在有限个正整数 $m$ ，使得 $a_{m}$ 与 $a_{m + 1}$ 互素；
B.
至少存在一个正整数 $m$ ，使得 $a_{m + 2} a_{m} = a_{m + 1}^{2}$ ；
C.
存在无穷多的正整数 $p, q$ ，使得 $a_{p} a_{q} - 1$ 为完全平方数；
D.
存在无穷多的正整数对 $(m, n)$ ，使得 $a_{m} ∣ a_{n}^{2} + 1$ ，且 $a_{n} ∣ a_{m}^{2} + 1$ 。

作答

本题可能不止一个正确选项。

解析

为什么评为 F4（会透露解法方向）

多选任务要分别处理互素、不可等式、平方构造与双向整除，核心是选择奇数下标并在两种模数下核对Cassini符号。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：提公因子，化为互素

专题卡：公因子归一与欧几里得变形、递推状态与不变量