2012 年河北预赛（高二卷） · 第 14 题

解答

有 $b^2=a^2+5xy$。（1）$y=1$ 时，$(b/a{)}^2=1+5x/(x+1{)}^2$。因 $0<x/(x+1{)}^2\le 1/4$，在 $x=1$ 达到上界，在 $x\to 0^{+}$ 时趋零，连续性给 $\boxed{1<b/a\le 3/2}$。（2）线段长度要求 $c=\sqrt{kxy}>0$。令 $t=(x+y)/\sqrt{xy}\ge 2$，则三角形条件等价于 $\sqrt{t^2+5}-t<\sqrt{k}<\sqrt{t^2+5}+t$。左函数严格递减，最大值在二处为一；右函数严格递增，最小值在二处为五。因此对所有正 $x,y$ 都成立当且仅当 $\boxed{1<k<25}$。