2017 年黑龙江预赛 · 第 22 题

解答

（1）定义域为 $x>0$，$f^{\prime }(x)=a-1/x$。若 $a\le 0$，导数恒负，无极值点；若 $a>0$，导数在 $1/a$ 左负右正，恰有一个极小值点 $\boxed{x=1/a}$。（2）$x=1$ 为极值点迫使 $a=1$。原条件等价于 $(1-b)x+1-\ln x\ge 0$ 对所有正数成立。令 $c=1-b$，若 $c\le 0$，令 $x$ 趋于无穷即失败；若 $c>0$，该式在 $x=1/c$ 取得最小值 $2+\ln c$。故 $c\ge e^{-2}$，即 $\boxed{b\le 1-e^{-2}}$。（3）令 $H(t)=t-\ln \ln (t+1)$。当 $t>e-1$ 时，$H^{\prime }(t)=1-1/[(t+1)\ln (t+1)]>0$。所以 $H(x)>H(y)$，移项并取指数，即得 $\boxed{e^{x-y}>\ln (x+1)/\ln (y+1)}$。