培玉 · 一试

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2013 年辽宁预赛 · 第 7 题

F2填空题幂指对

若 $2^{a} + 2^{b} = 2^{a + b}$ ，且 $2^{a} + 2^{b} + 2^{c} = 2^{a + b + c}$ ，则 $2^{c}$ 的最大值是。

作答

分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。

解析

为什么评为 F2（会透露解法方向）

F2：首个等式直接用均值不等式给a+b下界，再代第二式消去 $2^{c}$ ；标准倒数比较且两等式可同时取等。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：用实参数表示后求全局最值、均值不等式：拆项与配权

专题卡：指数和对数的最值：换成正数，再用均值不等式或配方