易混 2024 年贵州预赛 · P006499
两题都可把数据视为欧氏向量，用数量积与平方模的同一不等式建立精确界。循环移动保平方模，于是控制相关量的上界；固定线性组合则固定了投影，反过来控制平方模的下界。
固定模求内积最大与固定内积求模最小，优化方向不同；循环块还要覆盖全零情形及对所有数列成立的位移，不能只套一个等号比例。
培玉 · 一试
2026 年山东预赛
周期数列的循环自相关最大项
F3解答题数列的性质
已知有无穷项的实数列 （）满足对任意的非负整数 ，都有
数列 （）满足
- (1)
求证：存在正整数 ，使得对任意非负整数 ，都有 ；
- (2)
求所有的非负整数 ，使得对任意满足题目条件的无穷项数列 ， 都有 是数列 中的最大项。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
是长度 的循环自相关。
思路
原数列的周期立即传给 ；而任意位移后的内积由 柯西不等式不超过零位移时的平方和。最后用只在一个剩余类上取 的周期数列排除其余 。
解答
由 ，对任意非负整数 ，
因此第 (1) 问可取正整数
对任意 ，序列 只是 的循环排列。由柯西不等式，
所以 总是数列 的最大项。若 ，则 ， 因而这样的 全部符合要求。
反之，若 ，构造周期数列
此时
所以 不是最大项。故第 (2) 问的全部答案为
复核
题目允许 ，答案中已经包含 。柯西不等式也覆盖全零数列；反例数列确实满足 题设周期条件，并对每个非零模 的剩余类同时成立。
方法总结
周期序列的循环相关量先按一个完整周期重排。自相关在零位移处最大是柯西不等式的标准结论； 要判定“对所有数列”成立的位移，则用单点支撑的周期数列检验，通常能给出必要性。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
周期直接可得，普适最大项还需用循环置换保持平方和证明b0上界，并构造仅一个非零项的周期列排除非周期倍数。
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