易混 2017 年中科大少年班初试 第 3 题 · P009971
两题都含有限集上的复合函数，但能否把内层函数值当作任意集合元素，取决于是否确有满射条件。先厘清像集，再决定直接重命名还是逐坐标分类。
一题没有双射假设，必须检查各可能像带来的坐标约束；另一题的满射允许内层像遍历整个集合。
培玉 · 一试
2024 年浙江预赛
F2填空题函数综合
设函数
满足 ，则这样的函数有个。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
函数只有三个自变量，按 的三个值分类可完全计数。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
记 。条件对任一函数值 的含义是
若 ，再按 ，由（1）可取的 数依次为 ，共 个函数。 若 ，必须 ，而 或 ，共 个。 若 ，必须 ，而 或 ，共 个。 所以总数为
复核
三个关于函数值的蕴含关系正好对应 ，分类互斥且覆盖 。
方法总结
有限集上的复合函数方程可把每个可能函数值翻译成坐标约束，再按一个坐标分类。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
把每个可能函数值转成一个对应位置的固定条件，再按f(1)三种值作有限分类。
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同一骨架 2023 年北京预赛 · P006642
两题都把有限映射视作一组可取有限值的坐标，把复合条件翻译成这些坐标间的限制，再从最受限制的坐标分类计数。每一支都要回查所有输入，不能只核最初选中的一个。
一题二次像只有序关系，另一题像值会触发指定坐标的等式；两者都未要求映射为排列。
已记下，谢谢！