2017 年天津预赛 · 第 6 题

解答

设 $x=\Re z,A=|z+1|,B=|z-1|$。由于两边模均非负，原等式与平方等式等价。相减并用 $A^2-B^2=4x$，得 $2x(2-A-B)=0$。所以或 $x=0$，或 $A+B=2$。后者由三角不等式取等条件，恰是实线段 $[-1,1]$。完整解集是虚轴与这条实线段的并集。非零纯虚数和实数都可取，且所有解实部都小于二，故前三项正确。辐角为 $\pi /4$ 的非零数同时有正实部与正虚部，不在解集中，所以错误的是 $\boxed{\mathrm{D}}$。