培玉 · 一试
2021 年福建预赛
设 的内切圆 与三边分别相切于点 ，连接 与内切圆 的另一个交点为 。过点 分别作 的平行线，与圆 的另一个交点分别为 。 和 的内心分别为 。证明：
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
思路
弧中点引理：三角形外接圆上不含顶点X的对边弧中点M，与内心J及X共线，且MJ等于M到对边两端点的弦长；可由角平分线与等角三角形证明。
想法从哪来：两小三角形的内心位置难直接比较，但平行弦与原圆切线给了一个弧中点结构：切点位于相关小三角形的一条角平分线上。用弧中点与内心的等长关系，就把内心定位成DF、DE上的分点；所证平行于是只需两个分点比例相等。剩余比例含弦长PE、PF和DE、DF，应该回到A的两条等长切线：从两切线交点连到圆上第三点，可用正弦定理导出一条对称中线比例。结合A、P、D共线和弦长的正弦表示，两组比值恰好吻合。弧选哪一段关系到内心或旁心，必须按D所在一侧核对，不能只凭角平分线共线略过等长。
平行于切线的弦使切点成为相应弧的中点。由此可把两个小三角形的内心分别定位在直线 与 上。 再用切线交点给出的对称中线关系比较两条分点比例。
解答
因为 ，而 是圆 在 处的切线，所以 是圆上不过 的 弧 的中点。同理， 是不过 的弧 的中点。
使用三角形的弧中点--内心引理：若 是三角形 的外接圆上不过 的弧 的中点， 是该三角形的内心，则 共线，且 。 分别应用于 与 ，得到
下面比较 。圆 在 处的两条切线交于 ，故在圆内接三角形 中， 是顶点 的对称中线。事实上，由切线--弦定理及 ，
由于 共线，且 是 与圆的另一个交点，弦长公式给出
于是
在 中，，由比例线段定理的逆定理可得
复核
弧中点--内心引理同时给出共线与等长，不能只使用角平分线共线；最后两条比例使用的是 ，方向一致。
方法总结
“过圆上一点作切线的平行弦”提示弧中点；“两切线交点与第三个圆上点连线”提示对称中线。 把两类结构合并，可将内心平行问题化为三角形两边上的同比例分点。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
须从平行切线辨认正确弧中点取得内心位置和距离，再由对称中线得到弦长比，使两个内心在两边上同比分点。
已记下，谢谢！