2015 年天津预赛 · 第 14 题

解答

设重心也是外心 $P=(X,Y)$，外接圆半径 $R>0$。将抛物线点 $(t^2,t)$ 代入圆，得到 $t^4+(1-2X)t^2-2Yt+X^2+Y^2-R^2=0$。三顶点参数记为 $a,b,c$，则 $a+b+c=3Y,a^2+b^2+c^2=3X$，第四根由缺三次项等于负三倍 $Y$。四根的二次对称和一方面等于 $1-2X$，另一方面等于 $(9Y^2-3X)/2-9Y^2$，故 $X=9Y^2+2$。再用 $XY=1$ 得 $9Y^3+2Y-1=0$，左端严格递增，唯一根为 $Y=1/3$，于是 $\boxed{P=(3,1/3)}$。为核存在性，取三次式 $3t^3-3t^2-12t+10=0$ 的三个实根；它们分别落在 $(-2,-1),(0,1),(2,3)$。其和为一、平方和为九，所给三点重心正是 $P$。又该三次式乘 $(t+1)/3$ 等于 $t^4-5t^2-2t/3+10/3$，所以三点都在圆心 $P$、半径 $2\sqrt{13}/3$ 的同一圆上。三点的半径向量等长且和为零，故两两夹角均为一百二十度，确成正三角形。