2011 年中科大少年班初试 · 第 15 题

解答

（1）一次、两次不可能出现三个连续正面，故 $p_1=p_2=1$。三次只有全正面失败，故 $p_3=7/8$。四次失败结果为正正正反、反正正正、正正正正三个，故

（2）记正面为 $H$、反面为 $T$，约定 $p_0=1$。当 $n\ge 3$，合格序列必含反面，末尾只能是 $T,TH,THH$ 三种互斥形式；移去该后缀后，余下前缀仍合格，且后缀自身在前缀后不会产生跨界的连续三个正面。因此

（3）前 $n+1$ 次没有三连正的事件包含于前 $n$ 次没有三连正的事件，所以 $p_{n+1}\le p_n$。当 $n\ge 2$，序列 $T^{n-2}HHH$ 恰在第 $n+1$ 次首次出现三连正，概率为 $2^{-(n+1)}>0$，故此后严格递减；最初 $p_1=p_2$。

把前 $n$ 次中的 $\lfloor n/3\rfloor$ 个完整不交三次区块取出。全程没有三连正，则每个区块都不能全正面，所以由独立性

故 $\boxed{\underset{n\to \infty }{\lim }{p}_n=0}$。这表示无限独立公平抛掷中，最终出现至少一次连续三个正面的概率为一。