2016 年河北预赛 · 第 12 题

解答

柯西不等式给 $S\ge 9/[(1+a)+(1+b)+(1+c)]=9/4$，在三数均为 $1/3$ 时取等。对 $0\le t\le 1$，有 $1-t/2-1/(1+t)=t(1-t)/[2(1+t)]\ge 0$，所以 $S\le 3-(a+b+c)/2=5/2$，由 $(a,b,c)$ 为 $(1,0,0)$ 的任意排列取等。因此 $\boxed{9/4\le S\le 5/2}$。