2017 年山西预赛 · 第 6 题

解答

由公差知 $x=y-\pi /3,z=y+\pi /3$。令 $t=\tan y$，原三项正切存在保证 $1\pm \sqrt{3}t\ne 0$。于是 $\tan x=(t-\sqrt{3})/(1+\sqrt{3}t)$，$\tan z=(t+\sqrt{3})/(1-\sqrt{3}t)$。所求和为 $t\frac{8t}{1-3t^2}+\frac{t^2-3}{1-3t^2}=\frac{9t^2-3}{1-3t^2}=\boxed{-3}$。