2012 年安徽预赛 · 第 1 题

解答

反正弦取主值，故 $f(x)\in [-\pi /2,\pi /2]$。在 $|t|\le \pi /2$ 时，

于是 $f(f(x))=\pi /2-|f(x)|\in [0,\pi /2]$，进一步有

因 $\cos (x+\pi )=-\cos x$ 且反正弦为奇函数，$\pi$ 是该函数的一个正周期。 若 $T>0$ 是任一周期，则在 $x=0$ 处有

从而 $\cos T=\pm 1$，即 $T$ 是 $\pi$ 的正整数倍。因此最小正周期为 $\boxed{\pi }$。