2009 年河北预赛 · 第 2 题

解答

记 $t=a^x$、$Q(t)=t^2-(3a^2+1)t$。若 $0<a<1$，当 $x\ge 0$ 时 $t$ 严格递减并取遍 $(0,1]$。要使原函数递增，须 $Q$ 在该区间递减。因 $Q^{\prime }(t)=2t-(3a^2+1)$ 随 $t$ 增大，条件等价于

即 $a\ge 1/\sqrt{3}$。临界时仅 $t=1$ 导数为零，其余点严格为负，原函数仍严格递增。若 $a>1$，则 $t$ 从 $1$ 开始递增，但 $Q^{\prime }(1)=1-3a^2<0$，原函数在起点附近递减，不合要求。因此

选 $\boxed{\mathrm{B}}$。