培玉 · 一试

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2016 年中科大少年班初试 · 第 9 题

F2解答题不等式的证明

已知 $a, b, c > 0$ 且 $a + b + c = 3$ ，求证

\frac{a ^{2}}{a + b c} + \frac{b ^{2}}{b + c a} + \frac{c ^{2}}{c + ab} \geq \frac{3}{2} .

作答

这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。

解析

为什么评为 F2（会透露解法方向）

掌握均值和柯西后，分母上界及Engel合并是标准相接路线。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：柯西不等式与投影、均值不等式：拆项与配权

专题卡：平方和与线性式、分式和互相估计：用柯西不等式、正数的和与积互相估计：拆项配平，用基本不等式