2015 年湖北预赛 · 第 8 题

解答

根式的定义域为 $[-1,1]$。令

因此 $\sqrt{2}\le t\le 2$。$t$ 在 $[0,1]$ 连续，在 $x=0,1$ 分别取 $2,\sqrt{2}$， 故这个参数区间全部可达。原式化为

在 $[\sqrt{2},2]$ 上，两个正因子 $t+2,t^2$ 都严格递增，故乘积也严格递增。 两端的值为 $2+\sqrt{2}$、$8$，结合连续性，值域为 $\boxed{[2+\sqrt{2},8]}$。 下界在 $x=\pm 1$ 取得，上界在 $x=0$ 取得。