2009 年河南预赛 · 第 13 题

解答

用参数 $T(t)=(t^2,2t)$ 表示抛物线上的点，固定点 $M=T(1)$。 设 $A=T(u),B=T(v)$。内接三角形非退化，故 $u,v\ne 1$。 由

直角条件等价于

记 $s=u+v$、$q=uv$，便有 $q+s=-5$。参数弦的一般方程是

因此

它恒过定点 $G=(5,-2)$，完成第一问。

为确定真正的弦族，以 $u,v$ 为根的方程为

判别式为 $(s+2{)}^2+16>0$，对每个实数 $s$ 都有两个不同实根。 其中一根为 $1$ 当且仅当 $s=-2$，此时与固定顶点 $M$ 重合，应排除。 其余 $s$ 都可还原题设直角三角形。因此允许的 $AB$ 正是过 $G$ 的非水平直线， 再去掉直线 $GM$；竖直线 $x=5$ 对应 $s=0$，在允许范围内。

设垂足为 $N=(x,y)$。由 $GN$ 与 $MN$ 垂直（或垂足恰为 $G$），有点积关系

即

若 $N=M$，则原直线必为 $GM$，对应退化三角形，不能取。 若 $N=(1,-2)$，则原直线必为水平线 $y=-2$，它与抛物线只有一个交点，也不能取。

反之，取该圆上除 $(1,2),(1,-2)$ 外的一点 $N$。 若 $N\ne G$，直线 $GN$ 不是水平线，也不是 $GM$；前述参数判别式保证它对应一个合法弦。 圆方程给 $MN\perp GN$，故 $N$ 正是题设垂足。 若 $N=G$，取过 $G$ 且垂直 $MG$ 的直线 $y=x-7$，对应 $s=2$，亦为合法弦， 垂足就是 $G$。所以完整轨迹为