同一骨架 2025 年新疆预赛 · P006397
焦点三角形的内心按对边长加权，再用两焦半径的和差与距离平方差化简，内心横坐标会直接控制双曲线的实半轴或分支，无须先求出整个三角形。
前题给定两焦点与内心所在直线，求顶点的完整轨迹并删退化顶点；后题给定内心点及虚半轴，先定实半轴，再用纵坐标恢复三边求外接圆。
培玉 · 一试
2009 年陕西预赛 · 第 12 题
F4解答题解析几何综合
如图，已知两点 ， 的内切圆的圆心在直线 上移动。
- (1)
求点 的轨迹方程；
- (2)
过点 作两条射线，分别交（1）中所求轨迹于 两点，且 ，求证：直线 必过定点。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
三角形内心坐标是三个顶点按对边长加权的平均。两定点距离差为正常数给双曲线的一支，顶点处可能因三角形退化而排除。
想法从哪来：内心沿竖直线移动，看上去要写两条角平分线；更直接的是用三边作权重的内心坐标。两焦点固定时，两腰长的平方差能消掉顶点纵坐标，于是内心横坐标简化成两腰长度差的一半，轨迹自然指向双曲线。得到分支后，先剔除与底边共线的顶点，再反向核内心条件。第二问从双曲线顶点引射线，顶点本身已是一交点，联立后只需提走这个已知根即可写出另一交点。垂直射线使斜率积固定，代入两点弦方程后，只剩一个变化系数，因此共同经过的定点直接显露；可用射线的有效范围再核有真实构型。
内心横坐标可由边长加权坐标化成两焦半径差的一半；第二问从双曲线顶点引线，垂直条件给两斜率乘积。
解答
记 ，，，。有 ；内心横坐标为 。故 ，点 的完整轨迹为 ，右顶点因三角形退化排除。反向代入非顶点右支，焦半径差四且三角形非退化，内心横坐标确为二。第二问从 引斜率 的射线，其非顶点交点为 。两条有效射线都不是竖直线，且点积为零给 。把两交点坐标代入弦方程可得 ，因此 ，恒过 。
复核
两交点在右支要求 且 ，因而原射线真实可取。 时弦为竖直线 ，仍保留在无斜率方程中。原轨迹只删退化顶点，不能误取左支。
方法总结
内心坐标与焦半径差相连，顶点弦再用斜率乘积统一处理固定点及竖直弦。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
内心横坐标化为焦半径差，保留非退化右支；顶点引弦与射线垂直条件消元成固定线束，竖直弦仍须包含。
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