2011 年湖北预赛 · 第 11 题

解答

（1）对非竖直线写 $y=kx+t$，其中 $t=-(1+\sqrt{2}k)/3$。令 $d=1+2k^2$，两交点横坐标和、积为 $s=-4kt/d,p=(2t^2-4)/d$。直接展开得 $(A-Q)\cdot (B-Q)=(1+k^2)p+(k(t-1)-\sqrt{2})s+2+(t-1{)}^2=0$。竖直线 $x=\sqrt{2}/3$ 的两纵坐标为 $\pm \sqrt{17}/3$，点积同样为 $8/9-17/9+1=0$。由于直线不过 $Q$，两向量非零，故 $\boxed{\angle AQB=90^{\circ }}$。（2）令 $T=\mathrm{diag}(1/4,1/2)$，设两条直角腿的单位方向为 $\mathbf{u},\mathbf{v}$，长度为 $r,s>0$。记 $\alpha ={\mathbf{u}}^{T}T\mathbf{u},\beta ={\mathbf{v}}^{T}T\mathbf{v}$。因为两方向正交，$\alpha +\beta =3/4$ 且各自在 $[1/4,1/2]$，所以 $\alpha \beta \ge 1/8$。由 $Q,A,B$ 都在椭圆上，有 $2TQ\cdot \mathbf{u}=-r\alpha$、$2TQ\cdot \mathbf{v}=-s\beta$。两式平方相加，得到 $3/2=4|TQ{|}^2=r^2{\alpha }^2+s^2{\beta }^2\ge 2rs\alpha \beta \ge rs/4$，故面积 $S=rs/2\le 3$。若等号成立，须 $\alpha \beta =1/8$，即两腿分别平行坐标轴；此时两腿长为 $2\sqrt{2},2$，其加权长度为 $\sqrt{2}/2,1$，不满足另一等号 $r\alpha =s\beta$。因此 $\boxed{S<3}$。